📘 چطور اثبات‌ها را بخوانیم و انجام دهیم

راهنمای سیستماتیک برای تسلط بر تکنیک‌های اثبات در ریاضیات

🔹 درباره کتاب: این متن یک مکمل عالی و یک رویکرد سیستماتیک برای آموزش نحوه خواندن، درک، تفکر و انجام اثبات‌های ریاضی به دانشجویان مقاطع کارشناسی و کارشناسی ارشد ارائه می‌دهد.

رویکرد اصلی کتاب این است که تکنیک‌های مختلفی را که به‌طور مکرر در تمام اثبات‌ها استفاده می‌شوند، دسته‌بندی، شناسایی و توضیح می‌دهد—فارغ از اینکه این اثبات در کدام حوزه ریاضی باشد.

مزیت کلیدی: این کتاب همچنین توضیح می‌دهد که هر تکنیک اثبات کِی احتمالاً استفاده خواهد شد، و این تشخیص را بر اساس کلمات کلیدی مشخصی که در مسئله مورد نظر ظاهر می‌شوند، انجام می‌دهد. این امر به دانشجویان این امکان را می‌دهد که آگاهانه و بر اساس شکل مسئله، تکنیک مناسب را انتخاب کنند.

📑 فهرست مطالب

بخش ۱: اثبات‌ها

فصل ۱: حقیقت همه چیز

فصل ۲: روش رو به جلو - رو به عقب (The Forward-Backward Method)

فصل ۳: درباره تعاریف و اصطلاحات ریاضی

فصل ۴: سورها (Quantifiers) I: روش ساختاردهی (The Construction Method)

فصل ۵: سورها II: روش انتخاب (The Choose Method)

فصل ۶: سورها III: تخصیص (Specialization)

فصل ۷: سورها IV: سورهای تودرتو (Nested Quantifiers)

فصل ۸: نفیِ نفی‌ها به گره منجر می‌شود (Nots of Nots)

فصل ۹: روش تناقض (The Contradiction Method)

فصل ۱۰: روش عکس نقیض (The Contrapositive Method)

فصل ۱۱: روش‌های یکتایی (The Uniqueness Methods)

فصل ۱۲: استقرا (Induction)

فصل ۱۳: روش‌های "یا/یا" (روش تجزیه حالت‌ها)

فصل ۱۴: روش‌های بیشینه/کمینه (The Max/Min Methods)

فصل ۱۵: خلاصه

بخش ۲: سایر فرآیندهای تفکر ریاضی

فصل ۱۶: تعمیم (Generalization)

فصل ۱۷: خلق تعاریف ریاضی

فصل ۱۸: سیستم‌های اصل موضوعی (Axiomatic Systems)

پیوست‌ها (Appendices)

پیوست الف: نمونه اثبات‌ها از ریاضیات گسسته

پیوست ب: نمونه اثبات‌ها از جبر خطی

پیوست ج: نمونه اثبات‌ها از جبر مدرن

پیوست د: نمونه اثبات‌ها از آنالیز حقیقی

📝 نظرات منتقدان

• "مطالب آموزشی آن مختصر و مفید بوده و مثال‌ها و حاشیه‌هایی درباره اشتباهات رایج به خوبی بررسی شده‌اند. مثال‌های خوبی از دقت نظر نویسنده در مورد شناسایی فرض و نتیجه‌گیری (وقتی که واضح نیستند) و همچنین مزایا و معایب تعمیم دیده می‌شود." (Zentralblatt MATH 2016)

👨‍🏫 درباره نویسنده

دانیل سولو (Daniel Solow): استاد مدیریت در دانشکده مدیریت Weatherhead دانشگاه کیس وسترن رزرو است.

🔹 علایق تحقیقاتی:

• توسعه و تحلیل مدل‌های بهینه‌سازی برای مطالعه سیستم‌های تطبیق‌پذیر پیچیده (Complex Adaptive Systems).
• تحقیقات پایه در بهینه‌سازی قطعی، شامل بهینه‌سازی ترکیبیاتی (Combinatorial Optimization)، برنامه‌ریزی خطی و غیرخطی.
• او بیش از ۲۰ مقاله در این زمینه‌ها منتشر کرده است.

This text makes a great supplement and provides a systematic approach for teaching undergraduate and graduate students how to read, understand, think about, and do proofs. The approach is to categorize, identify, and explain (at the student's level) the various techniques that are used repeatedly in all proofs, regardless of the subject in which the proofs arise. How to Read and Do Proofs also explains when each technique is likely to be used, based on certain key words that appear in the problem under consideration. Doing so enables students to choose a technique consciously, based on the form of the problem.

Table of Contents

Part I: Proofs

1: The Truth of It All

2: The Forward-Backward Method

3: On Definitions and Mathematical Terminology

4: Quantifiers I: The Construction Method

5: Quantifiers II: The Choose Method

6: Quantifiers III: Specialization

7: Quantifiers IV: Nested Quantifiers

8: Nots of Nots Lead to Knots

9: The Contradiction Method

10: The Contrapositive Method

11: The Uniqueness Methods

12: Induction

13: The Either/Or Methods

14: The Max/Min Methods

15: Summary

Part II: Other Mathematical Thinking Processes

I 16: Generalization

17: Creating Mathematical Definitions

18: Axiomatic Systems

Appendix A: Examples of Proofs from Discrete Mathematics

Appendix B: Examples of Proofs from Linear Algebra

Appendix C: Examples of Proofs from Modern Algebra

Appendix D: Examples of Proofs from Real Analysis

Review

"The instructional material is to the point, with well-considered examples and asides on common mistakes. Good examples of the author's thoughtfulness appear in the discourses on pp. 5-6 of identifying the hypothesis and conclusion when they are not obvious, on pp. 28-29 regarding overlapping notation, and on pp. 190-191 of the advantages and disadvantages of generalization." (Zentralblatt MATH 2016)

About the Author

Daniel Solow is a professor of management for the Weatherhead School of Management at Case Western Reserve University. His research interests include developing and analyzing optimization models for studying complex adaptive systems, and basic research in deterministic optimization, including combinatorial optimization, linear and nonlinear programming. He has published over 20 papers on both topics.