📘 معادلات اینشتین از نظریه نسبیت عام سرچشمه میگیرند. در چارچوب منیفلدهای ریمانی، نظریه‌ای ریاضی و مستقل پیرامون این معادلات شکل گرفته است که در سال‌های اخیر به نتایج چشمگیری منجر شده و توجه بسیاری از فیزیک‌دانان را نیز به خود جلب کرده است.

📐 این جلد از مجموعه Ergebnisse نخستین کتابی است که تصویری به‌روز و جامع از وضعیت پژوهش در این حوزه ارائه میدهد. کتاب Einstein Manifolds تلاشی موفق برای سازمان‌دهی ادبیات گسترده این زمینه است و تأکید ویژه‌ای بر مثال‌ها دارد.

🧩 بخش‌هایی از کتاب را میتوان به‌طور مستقل به‌عنوان مقدمه‌ای بر هندسه ریمانی مدرن مطالعه کرد؛ از طریق موضوع‌هایی مانند فضاهای همگن، زیرریزش‌ها و تابعی‌های ریمانی.

📖 فهرست مطالب

فصل ۰. مقدمه

فصل ۱. مبانی اولیه

فصل ۲. ادامه مبانی اولیه؛ منیفلدهای کِلر

فصل ۳. نسبیت

فصل ۴. تابعی‌های ریمانی

فصل ۵. انحنای ریچی به‌عنوان یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی

فصل ۶. منیفلدهای اینشتین و توپولوژی

فصل ۷. منیفلدهای ریمانی همگن

فصل ۸. منیفلدهای کِلر همگن فشرده

فصل ۹. زیرریزش‌های ریمانی

فصل ۱۰. گروه‌های هولونومی

فصل ۱۱. متریک‌های کِلر ـ اینشتین و حدس کالابی

فصل ۱۲. فضای مدولی ساختارهای اینشتین

فصل ۱۳. خوددوگانگی

فصل ۱۴. منیفلدهای کواترنیونی ـ کِلر

فصل ۱۵. گزارشی درباره حالت غیرفشرده

فصل ۱۶. تعمیم‌های شرط اینشتین

پیوست. فضاهای سوبولف و عملگرهای بیضوی

📝 نقد و بررسی‌ها

💭 «این کتاب مرجعی کارآمد برای بسیاری از تکنیک‌های بنیادی هندسه ریمانی است. با وجود حجم زیاد آن، خواننده برای درک کلی محتوای کتاب و یافتن نمونه‌های عالی از تعامل هندسه با معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، توپولوژی و گروه‌های لی با دشواری روبه‌رو نخواهد شد. مهم‌تر از همه، کتاب تصویری روشن از دامنه و تنوع مسائلی ارائه میدهد که عنوان آن مطرح میکند.»

— اس. ام. سالامون، MathSciNet، 1988

💭 «برای هر کسی که کتاب قبلی همین نویسنده، یعنی Manifolds All of Whose Geodesics Are Closed را خوانده بود، محتمل به نظر میرسید که کتاب حاضر به یکی از مهم‌ترین آثاری تبدیل شود که تاکنون درباره هندسه ریمانی منتشر شده است. این پیش‌بینی حقیقتا محقق شده است.»

— تی. جی. ویلمور، Bulletin of the London Mathematical Society، 1987

💭 «کتاب Einstein Manifolds به همین دلیل به‌عنوان دومین کتاب بسه شناخته میشود... هیچ تردیدی وجود ندارد که این اثر نمونه‌ای باشکوه از پژوهش و دانش ریاضی است... حقیقتا اثری بنیادین درباره موضوعی بی‌نهایت جذاب و مهم محسوب میشود.»

— مایکل برگ، MathDL، مارس ۲۰۰۸

💭 «هدف کتاب حاضر این است که یک مرجع جامع باشد... این اثر اهداف متعددی را برآورده میکند. هم مرجعی کارآمد برای بسیاری از تکنیک‌های بنیادی هندسه ریمانی است و هم نمونه‌هایی عالی از تعامل هندسه با معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، توپولوژی و گروه‌های لی ارائه میدهد. بدون تردید، این تک‌نگاری دیدگاهی روشن درباره دامنه و تنوع مسائلی فراهم میکند که عنوان کتاب مطرح میکند.»

— آدلا-گابریلا میهای، Zentralblatt MATH، جلد 1147، 2008

👤 درباره نویسنده

📚 آرتور ال. بسه

🧠 مارسل برژه علاوه بر پژوهش‌های شخصی خود در هندسه ریمانی، به‌خاطر تلاش پیگیر و خستگی‌ناپذیرش برای مطرح کردن مسائلی که آن‌ها را طبیعی و بنیادی میدانست و حقیقتا نیز چنین بودند، شهرت داشت.

🏞️ در سال ۱۹۷۵، او دانشجویانش را متقاعد کرد کارگاهی درباره یکی از مسائل مورد علاقه‌اش برگزار کنند: درک منیفلدهایی که تمام ژئودزیک‌های آن‌ها بسته هستند. این کارگاه در Besse-en-Chandesse، روستایی دلپذیر در مرکز فرانسه، برگزار شد و آن‌قدر موفق بود که شرکت‌کنندگان به توافق رسیدند کتابی درباره این موضوع بنویسند. به این ترتیب، آرتور بسه متولد شد.

😄 در آن زمان، نام کوچک «Arthur» در فرانسه کمی قدیمی و بامزه به نظر میرسید؛ اما چرا که نه؟ علاوه بر این، ارتباط آن با شاه آرتور را هم نمیشد نادیده گرفت، زیرا CNRS چنین نشست‌هایی را «Table Ronde» یا «میزگرد» مینامید!

📖 این تجربه آن‌قدر لذت‌بخش بود که آرتور به همان یک کتاب بسنده نکرد و نوشتن اثری دیگر را آغاز کرد.

🌄 کارگاه مقدماتی این کتاب در روستایی دیگر، حتی زیباتر از محل قبلی، یعنی Espalion در جنوب‌غربی فرانسه برگزار شد. این کتاب دوم، Einstein Manifolds، سرانجام در سال ۱۹۸۷ منتشر شد.

🕰️ سال‌ها گذشت و دوستان آرتور، که فهرست نام‌هایشان را میتوان در ابتدای کتاب‌های او یافت، هر یک در نقاط مختلف پراکنده شدند.

Einstein's equations stem from General Relativity. In the context of Riemannian manifolds, an independent mathematical theory has developed around them. Recently, it has produced several striking results, which have been of great interest also to physicists. This Ergebnisse volume is the first book which presents an up-to-date overview of the state of the art in this field. "Einstein Manifold"s is a successful attempt to organize the abundant literature, with emphasis on examples. Parts of it can be used separately as introduction to modern Riemannian geometry through topics like homogeneous spaces, submersions, or Riemannian functionals.

Table of Contents

Chapter O. Introduction

Chapter 1. Basic Material

Chapter 2. Basic Material (Continued): Kähler Manifolds

Chapter 3. Relativity

Chapter 4. Riemannian Functionals

Chapter 5. Ricci Curvature as a Partial Differential Equation

Chapter 6. Einstein Manifolds and Topology

Chapter 7. Homogeneous Riemannian Manifolds

Chapter 8. Compaet Homogeneous Kähler Manifolds

Chapter 9. Riemannian Submersions

Chapter 10. Holonomy Groups

Chapter 11. Kähler-Einstein Metries and the Calabi Conjeeture

Chapter 12. The Moduli Spaee of Einstein Struetures

Chapter 13. Self-Duality

Chapter 14. Quaternion-Kähler Manifolds

Chapter 15. AReport on the Non-Compaet Case

Chapter 16. Generalizations of the Einstein Condition

Appendix. Sobolev Spaees and Elliptie Operators

Review

"[...] an efficient reference book for many fundamental techniques of Riemannian geometry. [...] despite its length, the reader will have no difficulty in getting the feel of its contents and discovering excellent examples of all interaction of geometry with partial differential equeations, topology, and Lie groups. Above all, the book provides a clear insight into the scope and diversity of problems posed by its title."

S.M. Salamon in MathSciNet 1988

"It seemed likely to anyone who read the previous book by the same author, namely Manifolds all of whose geodesic are closed, that the present book would be one of the most important ever published on Riemannian geometry. This prophecy is indeed fulfilled."

T.J. Wilmore in Bulletin of the London Mathematical Society 1987

"Einstein Manifolds is accordingly described as Besse’s second book … . there is no doubt that Einstein Manifolds is a magnificient work of mathematical scholarship. … It is truly a seminal work on an incomparably fascinating and important subject." (Michael Berg, MathDL, March, 2008)

"The present book is intended to be a complete reference book. … The book under review serves several purposes. It is an efficient reference for many fundamental techniques of Riemannian geometry as well as excellent examples of the interaction of geometry with partial differential equations, topology and Lie groups. Certainly the monograph provides a clear insight into the scope and diversity of problems posed by its title." (Adela-Gabriela Mihai, Zentralblatt MATH, Vol. 1147, 2008)

About the Author

Arthur L. Besse

Besides his personal work in Riemannian Geometry, Marcel Berger is well known for his persistent and untiring propaganda for the problems he considers to be (and which actually are) natural and fundamental.

In 1975, he convinced his students to organise a workshop about one of his favorite problems, namely to understand manifolds, all of whose geodesics are closed. The workshop took place in Besse-en-Chandesse, a very pleasant village in the centre of France, and turned out to be so successful that a consensus emerged to write a book about this topic. Arthur Besse was born.

At that time, such a first name seemed old-fashioned and funny in France. But why not ? Besides, the association with King Arthur could not be overlooked, since this type of meeting was denoted, by the CNRS, as a "Table Ronde" !

The experience was so enjoyable that Arthur did not stop there, and settled down to write another book.

A preliminary workshop took place in another village, even lovelier than the first: Espalion, in the South-West of France. This second book, Einstein Manifolds, was eventually published in 1987.

Years have passed. Arthur's friends (the list of which can be found in the beginning of his books) haved scattered to various places.