📘 کتاب اثبات (Book of Proof)

مقدمه‌ای بر زبان و روش‌های استاندارد اثبات در ریاضیات

🔹 درباره کتاب: این کتاب به عنوان یک پل ارتباطی عمل می‌کند؛ پلی میان دوره‌های محاسباتی (مانند حسابان یا معادلات دیفرانسیل) که دانشجویان معمولاً در سال اول دانشگاه با آن‌ها روبرو می‌شوند، به سمت یک نگاه انتزاعی‌تر به ریاضیات.

هدف اصلی آن، پایه‌ریزی برای دروس نظری‌تر در سطوح بالاتر، مانند توپولوژی، آنالیز ریاضی و جبر مجرد (Abstract Algebra) است.

نکات کلیدی:

• پیش‌نیاز: اگرچه داشتن سابقه حسابان می‌تواند درک مطالب را عمیق‌تر کند، اما پیش‌نیاز واقعی دیگری به جز بلوغ ریاضی (Mathematical Maturity) ندارد.
• مباحث: این کتاب موضوعاتی چون مجموعه‌ها، منطق، شمارش، روش‌های اثبات شرطی و غیرشرطی، نقض اثبات (Disproof)، استقرا، روابط، توابع، اثبات‌های حسابان و کاردینالیتی نامتناهی را پوشش می‌دهد.

📑 فهرست مطالب

بخش اول: مبانی

فصل ۱: مجموعه‌ها (Sets)

فصل ۲: منطق (Logic)

فصل ۳: شمارش (Counting)

بخش دوم: چطور گزاره‌های شرطی را اثبات کنیم

فصل ۴: اثبات مستقیم (Direct Proof)

فصل ۵: اثبات با عکس نقیض (Contrapositive Proof)

فصل ۶: اثبات با تناقض (Proof by Contradiction)

بخش سوم: اطلاعات بیشتر در مورد اثبات

فصل ۷: اثبات گزاره‌های غیرشرطی

فصل ۸: اثبات‌های شامل مجموعه‌ها

فصل ۹: نقض اثبات (Disproof)

فصل ۱۰: استقرای ریاضی (Mathematical Induction)

بخش چهارم: روابط، توابع و کاردینالیتی

فصل ۱۱: روابط (Relations)

فصل ۱۲: توابع (Functions)

فصل ۱۳: اثبات‌ها در حسابان (Calculus Proofs)

فصل ۱۴: کاردینالیتی مجموعه‌ها (Cardinality of Sets)

📝 نظرات منتقدان

"این یک کتاب فوق‌العاده است. این کتاب که برای یک دوره یک‌ترمه 'گذار به ریاضیات بالاتر' نوشته شده، دانشجوی کارشناسی را با منطق و اثبات‌ها، و همچنین با اشیا و زبان پایه‌ای مورد استفاده در ریاضیات عالی، آشنا می‌کند. این کتاب برای دانشجویان آمریکایی که با تجربه کمی در زمینه اثبات یا استدلال صوری وارد کالج می‌شوند، ایده‌آل است تا بتوانند به سرعت خود را برای موفقیت در دوره‌های سطح بالاتر آماده کنند." -- (انجمن ریاضی آمریکا - MAA)

👨‍🏫 درباره نویسنده

ریچارد هاماک (Richard Hammack): استاد ریاضیات در دانشگاه ویرجینیا کامن‌ولث است.

This book is an introduction to the language and standard proof methods of mathematics. It is a bridge from the computational courses (such as calculus or differential equations) that students typically encounter in their first year of college to a more abstract outlook. It lays a foundation for more theoretical courses such as topology, analysis and abstract algebra. Although it may be more meaningful to the student who has had some calculus, there is really no prerequisite other than a measure of mathematical maturity.

Topics include sets, logic, counting, methods of conditional and non-conditional proof, disproof, induction, relations, functions, calculus proofs and infinite cardinality.

Table of Contents

I. Fundamentals

1. Sets

2. Logic

3. Counting

II. How to Prove Conditional Statements

4. Direct Proof

5. Contrapositive Proof

6. Proof by Contradiction

Ill. More on Proof

7. Proving Non-Conditional Statements

8. Proofs Involving Sets

9. Disproof

10. Mathematical Induction

IV. Relations, Functions and Cardinality

11. Relations

12. Functions

13. Proofs in Calculus

14. Cardinality of Sets

Review

This is a wonderful book. Written as a text for a one-semester "transition to higher mathematics" course, it introduces the undergraduate to logic and proofs and to the basic objects and language used in higher mathematics. It is ideal for the many American undergraduates who come to college with little or no experience with proof or formal reasoning and need to be brought up to speed quickly in order to succeed in upper-level mathematics courses. -- Mathematical Association of America, maa.org/press/maa-reviews/book-of-proof

About the Author

Richard Hammack is a professor of mathematics at Virginia Commonwealth University.